Este es un ejemplo de aplicación Lógica Matemática de la UNAD

APLICACIONES DE LA LÓGICA MATEMÁTICA

En este video nos mostraran un poco de lo que podremos encontrar en la lógica matemática

TEMAS IMPORTANTES DE LA LOGICA

LÓGICA DE PROPOSICIONES

En lógica y matemática, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En la lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las constantes lógicas son operaciones sobre las fórmulas que producen otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.

Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por ejemplo:

• Hoy es Viernes
• Ayer llovió
• Hace frío

La lógica proposicional, permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad par analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representación de las sentencias del ejemplo, como proposiciones, sería:

• hoy_es_Viernes
• ayer_llovió
• hace_frío

La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos. Por ejemplo:

• hoy_es_Viernes y hace_frío.

A la proposición anterior dada como ejemplo, se la denomina fórmula bien formada (well-formed formula, wff). Una fórmula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. La lógica proposicional proporciona un mecanismo para asignar valores de veracidad a la proposición compuesta, basado en los valores de veracidad de las proposiciones simples y en la naturaleza de los conectores lógicos involucrados.

 CLASES DE PROPOSICIONES

Estas pueden ser dos clases: atomicas y moleculares.

ATOMICAS

Las proposiciones atómicas (simples o elementales) carecen de comjunciones gramaticales tío conectivas ('y', 'o', 'si... entonces', 'si y solo si ') o del adverbio de negacion 'no'. Ejemplos:

• San Marcos es la unicersidad mas antigua de América.
• La lógica es disinta a la matemática.

Las proposiciones atomicas de acuerdo a sus elementos constitutivos pueden clasificarse en predicativas y relacionales.

las proposiciones predicativas constan de sujeto y predicado. Ejemplos:

• El número 2 es par 
• El espacio es relativo. 

las proposiciones relacionales constan de dos o mas sufetos vinculados entre si. Ejemplos:

• 
  
  Silvia es hermana de Angélica.
• 
  
  5 es mayor que 3.

MOLECULARES

las proposiciones moleculaares (compuestas o coligativas) contieenen alguna conjuncion gramatical típicao conectiva o el adverbio negativo 'no'. Ejemplos:

• La lógica y la matemáca son ciencias formales
• El tiempo es abasoluto o es relativo
• Si dos ángulos astacentes forman un palr lineal, entoces son suplementarios
• Este número es par si y sólo si es divesible por dos.
• El Inca Garcilaso de la Vega es un vronista puneño

CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES MOLECULARES

Las proposiciones moleculares, según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de negación “no” se llaman negativas.

• Las proposiciones conjuntivas:

Llevan la conjunción copulativa “y”, o sus expresiones equivalentes como “e”, pero aunque, aun cuando, tanto…como…, sino, ni ... ni, sin embargo, ademas, etc. Ejemplo.

• 
  
  Tanto el padre como el hijo  son melomanos
• 
  
  La materia ni se crea ni se destruye

En las proposiciones conjuntivas no es necesario que sus proposiciones componentes estén relacionadas en cuanto al contiendo; es suficiente la presencia de la conjunción “y”.

• Las proposiciones disyuntivas:

Llevan la conjunción disyuntiva “o” o sus expresiones equivalentes como “u”,”ya “ etc. En español la disyunción “o” tiene dos sentidos: Uno inclusivo o débil y otro exclusivo o fuerte. La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente: La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den conjuntamente. Ejemplos

Inclusivas debiles

• 
  
  Pedro es tio o sobrino
• 
  
  Roberto es profesor o estudiante

Inclusivas fuertes

• 
  
  elena está viva o muerta
• 
  
  Silvia es soltera o es casada

• Las proposiciones condicionales:

Llevan la conjunción condicional compuesta “si…entonces…”, o sus expresiones equivalentes como “si, siempre, que, etc.”. Ejemplos.

• 
  
  Si es joven, entonces es rebelde
• 
  
  Nuestra moneda se devalúa solamete si su valor disminuye
• 
  
  Cuando venga Raúl jugaremos ajedrez

Toda proposición condicional consta de los elementos: antecedente y consecuente. La proposición que sigue a la palabra “si” se llama antecedente y la que sigue a la palabra “entonces” se denomina consecuente.

• Las proposiciones bicondicionales:

Llevan la conjunción compuesta “…si y solo si…”, o sus expresiones como “cuando y solo cuando”. Se caracterizan por que establecen dos condicionales, pero de sentido inverso. Por ejemplo, la proposición bicondicional “el triangulo equilátero si y solo si tiene tres lados iguales” establece dos condicionales de sentido inverso. En toda proposición bicondicional el antecedente es condición necesaria y suficiente del antecedente. Ejemplos:

• 
  
  Si apruebo el examen de admisión, entonces y sólo entonces ingresaré a la universidad.
• 
  
  Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva.

• Las proposiciones negativas:

Llevan el adjetivo de negación “no”, o sus expresiones equivalentes como “nunca, jamás, tampoco, no es verdad que, no es cierto que, etc.”. Ejemplos

• 
  
  Es falso que el juez sea fiscal 
• 
  
  Jamas he visto al vecino 
• 
  
  Nunca he ido a cine 

Lenguaje formalizado de la logica proposicional

 El lenguaje de la lógica proposicional consta de los siguientes elementos

· Las variables. Simbolizan proposiciones simples, es decir, aquellas proposiciones inanalizables. Son las letras p, q, r, s, t, etc.

· Las conectivas lógicas, también llamadas constantes u operadores lògicos. Sirven para enlazar las variables y formar proposiciones complejas. Destacamos las siguientes:

· La negación (¬). Se lee "no ...". Por ejemplo, la proposición No llueve se simboliza "¬p". Se trata de una conectiva singular ya que es la única que no relaciona variables entre sí, sino que sólo puede afectar a una expresión del cálculo

· La conjunción (^). Se lee "... y ...". Por ejemplo, la proposición LLueve y me aburro se simboliza "p ^ q".

· La disyunción inclusiva o débil (v). Se lee "... o ..., o bien ... y ..." Por ejemplo, la proposición Es verdad que llueve o que soy feliz, o bien que llueve y soy feliz se simboliza "p v q".

· El condicional (→). Se lee "si ..., entonces ...". Por ejemplo, la proposición Si llueve, entonces las calles se mojan se simboliza "p →q".

· El bicondicional (↔). Se lee "si y sólo si ..., entonces ...". Por ejemplo, la proposición Si y sólo si un polígono tiene tres lados, entonces es un triángulo se simboliza "p↔q".

· Los signos auxiliares, que son los paréntesis, los corchetes y las llaves: (, ), [, ], { }.

2. La lógica proposicional, como LENGUAJE FORMALIZADO, puede considerarse como la unión de un una sintaxis y una semántica

a) La sintaxis hace referencia a aquellas reglas que determinan cuáles son las combinaciones correctas de signos. Son las siguientes:

· p, q, r, s, t, ... son fórmulas bien formadas del cálculo proposicional.

· Si A es una fórmula bien formada del cálculo, entonces ¬A es también una fórmula bien formada del cálculo.

· Si A y B son fórmulas bien formadas del cálculo, entonces A ^ B, A v B, A → B y A ↔ B son también fórmulas bien formadas del cálculo.

b) La semántica hace referencia fundamentalmente a la manera en que se asignan valores de verdad a las expresiones del cálculo. Diremos que el cálculo proposicional es veritativo funcional en el sentido de que el valor de verdad de sus fórmulas depende (o es función de) los valores de verdad asignados a sus variables. Las conectivas son las que desempeñan el papel de funciones de verdad.

Además de la sintaxis y la semántica, se deben añadir las reglas de inferencia que son las que permiten realizar deducciones.

3. La lógica proposicional posee las siguientes propiedades metalógicas:

· Consistencia, ya que del cálculo proposicional no puede derivarse ninguna contradicción.

· Completud, puesto que todas las expresiones verdaderas construidas con los signos del cálculo son demostrables en él.

· Decidibilidad, porque para cualquier fórmula dada puede determinarse por un procedimiento bien pautado en un número finito de pasos su validez en el cálculo. Este procedimiento algorítmico son las tablas de verdad.

· La independencia de los axiomas, en el sentido de que ningún axioma del cálculo puede deducirse de otro.

 

 

ADJUNTO LOS ENLACES DE UNOS VIDEOS DONDE NOS EXPLICAN TODO SOBRE LAS PROPOSICIONES ATOMICAS Y MOLECULAS Y LOS TEMAS QUE SE DERIVAN DE ESTAS

 

PROSICIONES ATOMICAS Y MOLECULARES

FARMALIZACION

CONJUNCION

EL CONDICIONAL

DISYUNCION

NEGACION

 

 

 

INICIO DE LA LOGICA

Breve historia de la lógica

La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo logike, que significa "dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo", que a su vez viene de logos, "palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio".

Existe un debate sobre si es correcto hablar de una lógica, o de varias lógicas, pero en el siglo XX se han desarrollado no uno, sino varios sistemas lógicos diferentes, que capturan y formalizan distintas partes del lenguaje natural. Se podría definir a un sistema logico como un conjunto de cosas, que nos ayudan en la toma de decisiones que sean lo más convenientemente posible.

Históricamente la palabra "lógica" ha ido cambiando de sentido. Comenzó siendo una modelización de los razonamientos, propuesta por los filósofos griegos, y posteriormente ha evolucionado hacia diversos sistemas formales, relacionados con la teoría.Históricamente se considera a Aristóteles el fundador de la lógica como propedéutica o herramienta básica para todas las Ciencias ya que fue el primero en formalizar completamente el campo.

Historia de la lógica matemática

  

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.

La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:

• Filosófica y crítica
• Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa)
• Teoría de modelos
• Teoría de la computabilidad
• Teoría de conjuntos
• Teoría de la demostración y matemática constructiva
• Lógica algebraica
• Modelos no-estándar

En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Churry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas. Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.